题目内容
4．为了响应政府“节能、降耗、减排、增效”的号召，某工厂决定转产节能灯，现有A、B两种型号节能灯的生产线．在这两种生产线的大量产品中各随机抽取100个进行质量评估，经检测，综合得分情况如图的频率分布直方图：
产品级别划分以及利润率如表，其中$\frac{1}{10}$＜a＜$\frac{1}{6}$；将频率视为概率．
| 综合得分k的范围 | 产品级别 | 产品利润率 |
| k≥85 | 一级 | a |
| 75≤k＜85 | 二级 | 5a2 |
| 70≤k＜75 | 三级 | a2 |
（Ⅱ）从长期来看，投资哪种型号的节能灯的平均利润率较大？
分析 （Ⅰ）由频率分布直方图，求出对应的频率与频数，计算用分层抽样法抽取的样本数，求出对应的概率值；
（Ⅱ）计算投资A、B两种型号节能灯的利润率X1、X2的概率值，列出对应的分布列，求出期望值，比较即可得出正确的结论．
解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，A型节能灯中，一级品的频率为0.080×5+0.040×5=0.6，
二级品的频率为0.020×5+0.06．×5=0.4，三级品的频率为0；
在A型节能灯中按产品级别用分层抽样的方法随机抽取10个，其中一级品6个，二级品4个
设在这节能灯中随机抽取3个，至少有2个一级品为事件D，恰好有n个一级品为事件Dn，
则P（D2）=$\frac{C_6^2C_4^1}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{2}$，P（D3）=$\frac{C_6^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{6}$；…（2分）
因为事件D2、D3为互斥事件，所以P（D）=P（D2）+P（D3）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$；
即在这10个节能灯中随机抽取3个，至少有2个一级品的概率为$\frac{2}{3}$；…..（5分）
（Ⅱ）设投资A、B两种型号节能灯的利润率分别为X1、X2，
由频率分布直方图知，A型节能灯中，一级品、二级品、三级品的概率分别为$\frac{3}{5}$、$\frac{2}{5}$，0；
B型号节能灯中一级品、二级品、三级品的概率分别为$\frac{7}{10}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{20}$；
所以X1的分布列是：
| X1 | a | 5a2 |
| P | $\frac{3}{5}$ | $\frac{2}{5}$ |
| X2 | a | 5a2 | a2 |
| P | $\frac{7}{10}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{20}$ |
则X1、X2的期望分别是：$E（{X_1}）=\frac{3×a}{5}+\frac{{2×5{a^2}}}{5}=2{a^2}+\frac{3a}{5}$，
$E（{X_2}）=\frac{7×a}{10}+\frac{{5{a^2}}}{4}+\frac{a^2}{20}=\frac{{26{a^2}}}{20}+\frac{7a}{10}$，
所以，$E（{X_1}）-E（{X_2}）=\frac{14}{20}{a^2}-\frac{1}{10}a$=$\frac{7}{10}a（a-\frac{1}{7}）$；…（12分）
因为$\frac{1}{10}＜a＜\frac{1}{6}$，所以从长期看
当$\frac{1}{10}＜a＜\frac{1}{7}$时，投资B型号的节能灯的平均利润率较大$\frac{1}{7}＜a＜\frac{1}{6}$时，
投资A型号的节能灯的平均利润率较大；
$a=\frac{1}{7}$时，投资两种型号的节能灯的平均利润率相等．…（14分）
点评 本题考查了频率分布直方图与分层抽样方法的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合性题目．
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