题目内容
若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值为
16
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．分析：由题意得f（-1）=f（-3）=0且f（1）=f（-5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=-x4-8x3-14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（-∞，-2-
）、（-2，-2+
）上是增函数，在区间（-2-
，-2）、（-2+
，+∞）上是减函数，结合f（-2-
）=f（-2+
）=16，即可得到f（x）的最大值．
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解答：解：∵函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，
∴f（-1）=f（-3）=0且f（1）=f（-5）=0，
即[1-（-3）2][（-3）2+a•（-3）+b]=0且[1-（-5）2][（-5）2+a•（-5）+b]=0，
解之得
因此，f（x）=（1-x2）（x2+8x+15）=-x4-8x3-14x2+8x+15
求导数，得f'（x）=-4x3-24x2-28x+8
令f'（x）=0，得x1=-2-
，x2=-2，x3=-2+
当x∈（-∞，-2-
）时，f'（x）＞0；当x∈（-2-
，-2）时，f'（x）＜0；
当x∈（-2，-2+
）时，f'（x）＞0； 当x∈（-2+
，+∞）时，f'（x）＜0
∴f（x）在区间（-∞，-2-
）、（-2，-2+
）上是增函数，在区间（-2-
，-2）、（-2+
，+∞）上是减函数
又∵f（-2-
）=f（-2+
）=16
∴f（x）的最大值为16
故答案为：16
∴f（-1）=f（-3）=0且f（1）=f（-5）=0，
即[1-（-3）2][（-3）2+a•（-3）+b]=0且[1-（-5）2][（-5）2+a•（-5）+b]=0，
解之得
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因此，f（x）=（1-x2）（x2+8x+15）=-x4-8x3-14x2+8x+15
求导数，得f'（x）=-4x3-24x2-28x+8
令f'（x）=0，得x1=-2-
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当x∈（-∞，-2-
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当x∈（-2，-2+
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∴f（x）在区间（-∞，-2-
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又∵f（-2-
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∴f（x）的最大值为16
故答案为：16
点评：本题给出多项式函数的图象关于x=-2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．
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