Question

16．已知△ABC的外接圆的半径为1，A为锐角，且sinA=$\frac{3}{5}$．
（1）若AC=2，求AB的长；
（2）若tan（A-B）=-$\frac{1}{3}$，求tanC的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，求出a，由sinA=$\frac{3}{5}$，求出cosA，利用余弦定理可得AB的长．
（2）构造思想，利用tanB=tan[A-（A-B）]求出tanB，tanC=-tan（A+B）可得答案．

解答 解：（1）在△ABC中，由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R得，
a=2RsinA=2×1×$\frac{3}{5}$=$\frac{6}{5}$，
∵sinA=$\frac{3}{4}$，A∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
在△ABC中，由余弦定理cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$得，
即cosA=$\frac{4}{5}$=$\frac{{2}^{2}+{c}^{2}-（\frac{6}{5}）^{2}}{2×2×c}$，
解得c=$\frac{8}{5}$，
∴AB的长为$\frac{8}{5}$；
（2）由（1）知，tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}$=$\frac{3}{4}$，
∴tanB=tan[A-（A-B）]=$\frac{tanA-tan（A-B）}{1+tanAtan（A-B）}$=$\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{3}}{1-\frac{3}{4}×\frac{1}{3}}$=$\frac{13}{9}$．
在△ABC中，A+B+C=π，
∴tanC=-tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{tanAtanB-1}$=$\frac{\frac{3}{4}+\frac{13}{9}}{\frac{3}{4}×\frac{13}{9}-1}$=$\frac{79}{3}$．

点评 本题考查了正余弦定理和正切函数的和与差公式运用，构造思想和计算能力．属于中档题．