Question

9．已知直线x+y=a与圆x²+y²=1交于A，B两点，O是原点，C是圆上一点，若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$，则a的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 可根据题意作出图形，设AB和OC交于D，从而有OC⊥AB，而根据$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$可以得到$OD=\frac{1}{2}$，再设直线x+y=a与y轴交于点E，从而得到△ODE为等腰直角三角形，并且OE=a，从而根据$OD=\frac{1}{2}$便可得出a的值．

解答 解：如图，
设OC交AB于D，则OC⊥AB；
∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}$，且$|\overrightarrow{OC}|=1$；
∴$OD=\frac{1}{2}$；
设直线x+y=a交y轴于E，则△ODE为等腰直角三角形，OE=a；
∴$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 考查圆的标准方程，直线的一般式方程，圆心和弦中点的连线垂直于弦，以及向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，三角函数的定义，直线在y轴上的截距．