Question

已知为为双曲线的两个焦点，焦距，过左焦点垂直于轴的直线，与双曲线相交于两点，且为等边三角形.

（1）求双曲线的方程；

（2）设为直线上任意一点，过右焦点作的垂线交双曲线与两点，求证：直线平分线段（其中为坐标原点）；

（3）是否存在过右焦点的直线，它与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，且使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1);(2)证明见解析；（3）不存在．

【解析】

试题分析：（1）利用等边三角形确定值即可双曲线的标准方程；（2）利用点差法进行证明；(3)假设存在这样的直线，设直线,联立两直线方程，求出的纵坐标，再求其面积，通过方程是否有解进行判断.

试题解析：（1），∵等边三角形，∴，，，∴；

（2）【解析】
设，，中点为，然后点差法，

即得，

∴，即点与点重合，所以为中点，得证；

（3）【解析】
假设存在这样的直线，设直线，，

联立得；联立得；

，即；

∴，该方程无解，所以不存在这样得直线．

考点：1.双曲线的标准方程；2.点差法；3.两直线的交点问题.

考点分析： 考点1：双曲线的标准方程 考点2：双曲线的几何性质 试题属性

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