Question

9．已知直角△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，I是△ABC的内心，P是△IBC内部（不含边界）的动点，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{7}{12}$，1）
• B． （$\frac{1}{3}$，1）
• C． （$\frac{1}{4}$，$\frac{7}{12}$）
• D． （$\frac{1}{4}$，1）

Answer 1

分析 如图建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0）），c（0，4），可得r=1，直线CI：3x+y-4=0；直线BI：x+2y-3=0；直线BC：4x+3y-12=0，点P（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-4＞0}\\{x+2y-3＞0}\\{3x+4y-12＜0}\end{array}\right.$，由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，得目标函数z=λ+μ=$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y$．

解答 解：如图建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0）），c（0，4）
∵I是△ABC的内心，∴（AC+AB+BC）×r=AB•AC⇒r=1
∴I（1，1）.$\overrightarrow{AB}=（3，0），\overrightarrow{AC}=（0，4）$
直线CI：3x+y-4=0；直线BI：x+2y-3=0；直线BC：4x+3y-12=0
点P（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-4＞0}\\{x+2y-3＞0}\\{3x+4y-12＜0}\end{array}\right.$…①
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=3λ}\\{y=4μ}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1}{3}x}\\{μ=\frac{1}{4}y}\end{array}\right.$，
∴目标函数z=λ+μ=$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y$．可化为y=-$\frac{4}{3}x+4z$…②
不等式组①表示的区域如下图：可知直线①过I（1，1）时，（z）_min=$\frac{7}{12}$，
过点C（0，4）时，（z）_max=1．
λ+μ的取值范围是（$\frac{7}{12}$，1），
故选：A

点评 本题考查了向量中的最值问题，建立坐标系进行坐标运算是处理向量问题的常用技巧之一，把点的位置用不等式组体现是解题的关键，属于难题．