Question

11．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=2，则三棱锥D-ABC的体积为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 取AC的中点，连结OB，OD，求出OB，OD，利用勾股定理的逆定理得出OB⊥OD，结合OD⊥AC得出OD⊥平面ABC，代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 解：取AC的中点O，连结OB，OD，
∵AD=CD=2，∠ADC=90°，
∴AC=2$\sqrt{2}$，OD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$，OD⊥AC．
同理OB=$\sqrt{2}$，
∵BD=2，
∴OD²+OB²=BD²，∴OB⊥OD，
又AC?平面ABC，OB?平面ABC，AC∩OB=O，
∴OD⊥平面ABC，
∴V_D-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•OD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．