Question

已知α，β都是锐角，且sin（α+β）=2sinα，求证：α＜β．（用反证法证明）

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：证明题,反证法

分析：假设α≥β，利用α，β都是锐角，可得sinα≥sinβ；根据sin（α+β）=2sinα，证明sinβ＞sinα，从而可得结论．

解答： 证明：假设α≥β，则
∵α，β都是锐角，∴sinα≥sinβ
∵sin（α+β）=sinαcosβ+sinβcosα=2sinα，cosβ＜1，
∴sinαcosβ＜sinα
又∵sinαcosβ+sinβcosα=2sinα，∴sinβcosα＞sinα
∵cosα＜1，∴sinβ＞sinα，矛盾
故α＜β．

点评：本题的考点是反证法，主要考查反证法的运用，解题的关键是利用反证法的证题步骤：反设，归谬，引出矛盾，从而下结论．