Question

15．已知函数f（x）=lnx-ax²+（2-a）x．
（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，再由点斜式方程，即可得到所求切线的方程；
（2）运用参数分离可得a=$\frac{lnx+2x}{{x}^{2}+x}$（x＞0），令g（x）=$\frac{lnx+2x}{{x}^{2}+x}$（x＞0），求出导数和单调区间、极值和最值，画出图象，通过图象讨论a的范围，即可得到所求零点个数．

解答 解：（1）函数f（x）=lnx-2x²，导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-4x，
函数f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=-3，
切点为（1，-2），所求切线的方程为y+2=-3（x-1），
即为3x+y-1=0；
（2）由f（x）=lnx-ax²+（2-a）x=0，
可得a=$\frac{lnx+2x}{{x}^{2}+x}$（x＞0），
令g（x）=$\frac{lnx+2x}{{x}^{2}+x}$（x＞0），可得
g′（x）=$\frac{-（2x+1）（lnx+x-1）}{（{x}^{2}+x）^{2}}$，
由lnx+x-1在（0，+∞）递增，且x=1时，ln1+1-1=0，
即有当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）递减，且x→+∞，f（x）→0；
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）递增．
可得g（x）在x=1处极大值，且为最大值1．
作出函数g（x）的图象，可得
当a=1或a≤0时，直线y=a和函数y=g（x）的图象有一个交点，函数f（x）有一个零点；
当0＜a＜1时，直线y=a和函数y=g（x）的图象有两个交点，函数f（x）有两个零点．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查函数零点的判断，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．