题目内容
设F1、F2分别是椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，当a=2b时，求椭圆的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由椭圆定义得到|PF1|-|PF2|=2a，由直角三角形中的余弦定理结合隐含条件及a=2b求得a，b的值，则答案可求．
解答：
解：如图，不妨设P在第一象限，
由椭圆定义得|PF1|-|PF2|=2a，
∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，
则(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2，
即4a2-2×2=4c2，a2-c2=1
又a=2b，a2=b2+c2，解得：a2=4，b2=1．
∴椭圆的方程为
+y2=1．
由椭圆定义得|PF1|-|PF2|=2a，
∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，
则(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2，
即4a2-2×2=4c2，a2-c2=1
又a=2b，a2=b2+c2，解得：a2=4，b2=1．
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 4 |
点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆的定义，涉及由椭圆上的点与焦点连线构成的三角形问题，常用椭圆定义及余弦定理结合解决，是中档题．
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)
，b=(
)
，c=log
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集合M={x|x=sin
，k∈Z}中的元素有（ ）
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