Question

已知函数（，），．

（1）求函数的单调区间，并确定其零点个数；

（2）若在其定义域内单调递增，求的取值范围；

（3）证明不等式 （）．

 

Answer 1

（1）当时，为的减区间，为的增区间，有且只有一个零点；当时，为的增区间，为的减区间，有且只有一个零点．

（2）；（3）祥见解析．

【解析】

试题分析：（1）首先求出已知函数的导数，然后由导数为正（为负）求得函数的增（减）区间，结合函数的单调区间就可求得函数的零点的个数；注意分类讨论；（2）由在其定义域内单调递增，可知，恒成立，从而就可利用二次函数的图象来求得字母的取值范围；或者分离参数将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题来加以解决；（3）观察所证不等式左右两边，联想已知的函数，由（2）可知 当时，在内单调递增，而，所以当时，，即 令 ， 则 即: ，然后再令n=1，2，3，…，n得到n个式子，将这n个式子相加就可得到所证不等式．

试题解析：（1） 1分

则

…2分

（i）若，则当时，；当时，

所以 为的增区间，为的减区间． 3分

极大值为

所以只有一个零点．

（ii）若，则当时，；当时，

所以 为的减区间，为的增区间．

极小值为 4分

所以只有一个零点．

综上所述，

当时，为的减区间，为的增区间，有且只有一个零点；

当时，为的增区间，为的减区间，有且只有一个零点． 5分

（2） …6分

由在其定义域内单调递增，可知，恒成立．

则 恒成立． 7分

(法一)由二次函数的图象(开口向上，过定点)可得或 8分

则 或，则 或，得 ．

可以验证 当时在其定义域内单调递增故 ． 9分

(法二)分离变量

因 （当且仅当，即时取到等号）…8分

所以 ， 则．

可以验证 当时在其定义域内单调递增，故 9分

（3）由（2）可知 当时，在内单调递增，

而

所以当时，，即 10分

令 ， 则 …11分

则

所以 ，， ， ，，

以上个式子累加可得

12分

则

则 13分

则

故 （）． 14分

考点：１．利用函数的导数研究函数的单调性；２．函数的零点；３．函数与不等式的综合．