Question

12．已知f（x）=2x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题为已知一元二次不等式的解集，求函数解析式．可由二次不等式的解法，先找到对应的二次方程，则0，5为二次方程的两个根，代入可得b，c，函数解析式可得；
（2）由题为恒成立问题，可等价转化为最值问题，即；2x²-10x+t-2≤0恒成立，再利用函数g（x）=2x²-10x+t-2，求它的最大值可得t的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=2x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），
∴2x²+bx+c＜0的解集是（0，5），所以0和5是方程2x²+bx+c=0的两个根，
由韦达定理知，-$\frac{b}{2}$=5，$\frac{c}{2}$=0，
∴b=-10，c=0，
∴f（x）=2x²-10x．
（2）f（x）+t≤2 恒成立等价于2x²-10x+t-2≤0恒成立，
∴2x²-10x+t-2的最大值小于或等于0．
设g（x）=2x²-10x+t-2≤0，
则由二次函数的图象可知g（x）=2x²-10x+t-2在区间[-1，1]为减函数，
∴g（x）_max=g（-1）=10+t≤0，
∴t≤-10．

点评 本题主要考查二次不等式和二次方程之间的关系，以及不等式恒成立的问题，属于中档题