Question

10．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c．已知a≠b，c=$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}{cos^2}A-\sqrt{3}{cos^2}$B=sinAcosA-sinBcosB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA=$\frac{4}{5}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的公式和三角形的内角和化简，即到得角C的大小；
（2）由题意c=$\sqrt{3}$，由（1）得角C的大小，利用正弦定理求出a，再利用余弦定理求出b，即可求△ABC的面积．

解答 解：（1）由$\sqrt{3}{cos^2}A-\sqrt{3}{cos^2}$B=sinAcosA-sinBcosB
?$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2A$）-$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2B$）=$\frac{1}{2}sin2A-\frac{1}{2}sin2B$
?$\frac{\sqrt{3}}{2}cos2A-\frac{1}{2}sin2A$=$\frac{\sqrt{3}}{2}cos2B-\frac{1}{2}sin2B$
?cos（2A+$\frac{π}{6}$）=cos（2B+$\frac{π}{6}$）
∵a≠b，即A≠B，△ABC是锐角三角形，
∴90°＜A+B＜180°，
∴cos（2A+$\frac{π}{6}$）=cos（2B+$\frac{π}{6}$）?cos[2π-（2A+$\frac{π}{6}$]=cos（2B+$\frac{π}{6}$），
即：2π-（2A+$\frac{π}{6}$）=2B+$\frac{π}{6}$），
解得：A+B=$\frac{5π}{6}$，
所以：C=π-A-B=$\frac{π}{6}$，
（2）由（1）可知C=$\frac{π}{6}$，c=$\sqrt{3}$，sinA=$\frac{4}{5}$，
则：cosA=$\frac{3}{5}$
根据正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{SinC}$，
 可得：$\frac{a}{\frac{4}{5}}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}$，
解得：$a=\frac{8\sqrt{3}}{5}$，
sinB=sin（$\frac{5π}{6}-A$）=sin$\frac{5π}{6}$cosA-cos$\frac{5π}{6}$sinA
=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{4}{5}$
=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$
△ABC的面积S=$\frac{1}{2}ac•sinB$
=$\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{3}}{5}$×$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$×$\sqrt{3}$
=$\frac{{24\sqrt{3}+18}}{25}$

点评 本题主要考查二倍角公式的运用，化简能力和计算能力，同时本题注意：1、a≠b，即A≠B，△ABC是锐角三角形，借用诱导公式来化简．2、如果用余弦定理来求b，利用已知角A的话，计算量大，可以考虑转化，求sinB来求面积．正确化简是解决本题的关键．属于中档题．