Question

（本小题满分13分）已知圆．

（Ⅰ）写出圆C的标准方程, 并指出圆心坐标和半径大小;

（Ⅱ）是否存在斜率为的直线m, 使m被圆C截得的弦为AB, 且（为坐标原点）．若存在, 求出直线m的方程; 若不存在,说明理由．

 

Answer 1

（Ⅰ），，；（Ⅱ）或.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由圆的一般方程得其圆心，半径为，从而可得圆C的标准方程，此题也可以通过配方法直接得到圆C的标准方程，然后再写出其圆心坐标和半径；（Ⅱ）首先根据题意设出的方程，然后与圆的方程联立消得关于的一元二次方程，运用韦达定理得到两根的和及积的关系，然后再根据不难得出关于两根和及积的方程，从而可求直线的方程.

试题解析：（Ⅰ）根据圆的一般方程结合已知得：，则

， ，

即圆心C的坐标为，半径为，所以圆C的标准方程为：；

（Ⅱ）根据题意可设直线, 代入圆的方程得：，

因为直线与圆相交, 所以 ，

设, 则，由得:

，

, 得或，

均满足,故所求直线存在，且方程为或.

考点：①圆的一般方程和标准方程；②直线方程；③两直线垂直的斜率关系；④韦达定理；⑤数形结合思想和方程思想.