Question

5．已知命题p：?x∈[2，4]，x²-2x-2a≤0恒成立，命题q：f（x）=x²-ax+1在区间$[{\frac{1}{2}，+∞}）$上是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数恒成立问题，求出p为真时的a的范围，根据二次函数的性质求出q为真时的a的范围，从而判断出p、q一真一假时的a的范围即可．

解答 解：?x∈[2，4]，x²-2x-2a≤0恒成立，
等价于a≥$\frac{1}{2}$x²-x在x∈[2，4]恒成立，
而函数g（x）=$\frac{1}{2}$x²-x在x∈[2，4]递增，
其最大值是g（4）=4，
∴a≥4，
若p为真命题，则a≥4；
f（x）=x²-ax+1在区间$[{\frac{1}{2}，+∞}）$上是增函数，
对称轴x=$\frac{a}{2}$≤$\frac{1}{2}$，∴a≤1，
若q为真命题，则a≤1；?
由题意知p、q一真一假，
当p真q假时，a≥4；当p假q真时，a≤1，
所以a的取值范围为（-∞，1]∪[4，+∞）．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查二次函数的性质，考查复合命题的判断，是一道中档题．