Question

16．在数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，且$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{2n-1}$=na_n（n∈N₊）．
（1）写出此数列的前4项；
（2）归纳猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据递推式，依次令n=2，3，4计算a₂，a₃，a₄；
（2）根据前4相猜想通项公式，验证n=1时猜想成立，假设n=k时猜想成立，根据条件推导a_k+1得出结论．

解答 解：（1）a₁=$\frac{1}{3}$，a₂=$\frac{1}{15}$，a₃=$\frac{1}{35}$，a₄=$\frac{1}{63}$．
（2）猜想：a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$．
证明：①当n=1时，猜想显然成立．
②假设n=k时猜想成立，即a_k=$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$．
∵$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{2n-1}$=na_n，∴$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$=（2n-1）a_n．
∴$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{k}+{a}_{k+1}}{k+1}=（2k+1）{a}_{k+1}$，
∴a₁+a₂+…+a_k=（2k²+3k）a_k+1，
又a₁+a₂+…+a_k=（2k²-k）a_k=$\frac{k}{2k+1}$，
∴a_k+1=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{k}}{2{k}^{2}+3k}$=$\frac{1}{（2k+1）（2k+3）}$，
∴当n=k+1时，猜想成立．
由①②可知，对一切n∈N₊，都有a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$．

点评 本题考查了数列的通项公式，数学归纳法的证明，属于中档题．