Question

已知(x

x

+

2

3 x

)n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37．
（1）求x的整数次幂的项；
（2）分别求出展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．

Answer 1

（1）由题意，(x

x

+

2

3 x

)n的展开式的前三项的二项式系数之和为C_n⁰+C_n¹+C_n²=37
∴n²+n-72=0，∴n=8
∴知(x

x

+

2

3 x

)n的展开式的通项为T_r+1=

C

r8

x12-

11r

6

当r=0，6时，x的指数为整数
∴x的整数次幂的项有x¹²，28x；
（2）设展开式中第r+1项系数最大，则

C r8 ≥ C r-18 C r8 ≥ C r+18

∴

7

2

≤r≤

9

2

，∴r=4
∴展开式中系数最大的项是第5项，为70x

14

3

；
展开式共有9项，据展开式中间项的二项式系数最大，可得二项式系数最大的项是第5项，为70x

14

3

．