Question

18．已知不等式ln（x+1）-1≤ax+b对一切x＞-1都成立，则$\frac{b}{a}$的最小值是1-e^-3．

Answer 1

分析 令y=ln（x+1）-ax-b-1，求出导数，分类讨论，进而得到b≥-lna+a+2，可得$\frac{b}{a}$≥$\frac{-lna+a+2}{a}$，通过导数求出单调区间和极值、最值，进而得到$\frac{b}{a}$的最小值．

解答 解：令y=ln（x+1）-ax-b-1，则y′=$\frac{1}{x+1}$-a，
若a≤0，则y′＞0恒成立，x＞-1时函数递增，无最值．
若a＞0，由y′=0得：x=$\frac{1-a}{a}$，
当-1＜x＜$\frac{1-a}{a}$时，y′＞0，函数递增；
当x＞$\frac{1-a}{a}$时，y′＜0，函数递减．
则x=$\frac{1-a}{a}$处取得极大值，也为最大值-lna+a-b-2，
∴-lna+a-b-2≤0，
∴b≥-lna+a-2，
∴$\frac{b}{a}$≥$\frac{-lna+a-2}{a}$，
令t=$\frac{-lna+a-2}{a}$，
∴t′=$\frac{lna-3}{{a}^{2}}$，
∴（0，e³）上，t′＜0，（e³，+∞）上，t′＞0，
∴a=e³，t_min=1-e^-3．
∴$\frac{b}{a}$的最小值为1-e^-3．
故答案为：1-e^-3

点评 本题考查不等式的恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用导数判断单调性，求极值和最值是解题的关键，属于中档题