Question

设Z是虚数，w＝是实数，且－1＜w＜2．

(1)求Z的实部的取值范围；

(2)设μ＝求证μ为纯虚数；

(3)求w－μ²的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设Z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0) 　　w＝a＋bi＋ 　　∵w是实数，b≠0　∴b－＝0． 　　∴w＝2a　∵－1＜w＜2　∴－＜a＜1 　　∴Z的实部的取值范围是 　　(2)μ＝ 　　∵a∈　b≠0，∴μ为纯虚数． 　　(3)w－μ2＝2a＋ 　　＝2a＋＝2a－＝2a－1＋ 　　＝2[(a＋1)＋]－3． 　　∵a∈，∴a＋1＞0， 　　∴w－μ2≥2×2－3＝1，∴当a＋1＝即a＝0时 　　上式等号成立，∴w－μ2的最小值是1． 　　思路分析：本题考查复数的基本概念及根据基本不等式求最值问题．(1)(2)利用基本概念求解，(3)中不难得到w－μ2＝2a－＝2a－1＋＝2(a＋1)＋－3再利用均值不等式求得最小值，还要注意结论等号是否能成立．

提示：

设Z＝a＋bi将复数问题实数化，是解决复数问题的基本思想；另外，在利用不等式求最值时，特别要注意三点：①自变量是否有范围；②等号是否能够成立(在变量的范围下)；③要注意恒等变形，配凑成能使用不等式的形式．