Question

1．已知c≠0，方程x²+ax+bc=0与方程x²+bx+ac=0有且仅有一个公共根，求证：这两个方程的另两个根（除公共根外）是方程x²+cx+ab=0的根．

Answer 1

分析 由韦达定理，得到两根满足的等式，最后问题得证．

解答 解：设方程x²+ax+bc=0的根是x₁，x₂，
方程x²+bx+ac=0的根是x₂，x₃，
有且仅有一个公共根是x₂，
∴x₁+x₂=-a，x₁•x₂=bc，
x₂+x₃=-b，x₂•x₃=ac，
∴x₁=b，x₂=c=-a-b，x₃=a，
∴x₁，x₃是方程x²+cx+ab=0的根，
∵x₁+x₃=c=-a-b
x₁•x₃=ab，
满足韦达定理．

点评 本题考查二次函数的根满足的韦达定理．