Question

若B={x|x ²-3x+2＜0}，是否存在实数a，使A={x|x ²-（a+a ²）x+a ³＜0}，且A∪B=B？

Answer 1

分析：由B={x|x²-3x+2＜0}，得B={x|1＜x＜2}，由A∪B=B，得A⊆B，由x²-（a+a²）x+a³＜0得（x-a）（x-a²）＜0．再分类讨论能得到实数a．

解答：解：由B={x|x²-3x+2＜0}，得B={x|1＜x＜2}，
∵A∪B=B，
∴A⊆B，
由x²-（a+a²）x+a³＜0得（x-a）（x-a²）＜0．
（1）当a=0，或a=1时，得A=∅，满足题意；
（2）当0＜a＜1时，A={x|a²＜x＜a}，由A⊆B，得

a≥1 a2≤

2，
∴1≤a≤

2

，
当a＞a²时 即 0＜a＜1时
A={x|a²＜x＜a} 因为a＜1 所以与1＜x＜2 无交集，所以不成立．
（3）当a＜0，或a＞1时，
A={x|a＜x＜x²}，由A⊆B得

a≥1 a2≤2

，
所以1＜a≤

2

．
综合得a=0，或1≤a≤

2

．

点评：本题考查集合的性质和一元二次方程的解法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．