Question

已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

（3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力，考查学生的分类讨论思想、函数思想.第一问，对求导，将切点的横坐标代入得到切线的斜率，再将切点的横坐标代入到中，得到切点的纵坐标，利用点斜式得到切线的方程；第二问，在定义域内是增函数，只需在恒成立，对求导，由于分母恒正，只需分子在恒成立，设函数，利用抛物线的性质求出，令即可，解出P的值；第三问，先通过函数的单调性求出的值域，通过对P的讨论研究的单调性，求出的值域，看是否有值大于的最小值为2.

（1）当时，函数，．

，曲线在点处的切线的斜率为．

从而曲线在点处的切线方程为，即．…4分

（2）．

令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立．

由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴， 只需，即时，

∴在内为增函数，正实数的取值范围是．……9分

（3）∵在上是减函数，

∴时，；时，，即，

①当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数．

当时，，因为，所以，，

此时，在内是减函数．

故当时，在上单调递减，不合题意；

②当时，由，所以．

又由（2）知当时，在上是增函数，

∴，不合题意；

③当时，由（2）知在上是增函数，，

又在上是减函数，故只需，，

而，，

即，解得，

所以实数的取值范围是． 14分

考点：导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题.