Question

1．若数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），则数列$\left\{{\frac{1}{{1+{a_n}}}}\right\}$的各项和为1．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），变形为a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比数列的通项公式可得：1+a_n，再利用等比数列的前n项和公式可得$\left\{{\frac{1}{{1+{a_n}}}}\right\}$的前n项和．

解答 解：a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴1+a_n=2ⁿ，
∴$\frac{1}{1+{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴数列$\left\{{\frac{1}{{1+{a_n}}}}\right\}$的首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$．
∴数列$\left\{{\frac{1}{{1+{a_n}}}}\right\}$的各项和为：$\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．