Question

已知函数f（x）=1+2

3

sinxcosx-2

3

sin²x，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=3，b=

3

，f（A）=1，求角C．

Answer 1

考点：正弦定理,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，以及正弦函数的单调增区间，解不等式即可得到所求区间；
（2）由特殊角的三角函数值，求出A，再由正弦定理，求得B，再由三角形的内角和定理，可得C．

解答： 解：（1）f（x）=1+2

3

sinxcosx-2sin²x=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
则函数的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）f（A）=1，即为2sin（2A+

π

6

）=1，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
由于A为三角形的内角，则2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

，
由正弦定理得sinB=

bsinA

a

=

3 × 3 2

3

=

1

2

，
由于a＞b，则A＞B，则B=

π

6

，
则C=π-

π

3

-

π

6

=

π

2

．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的单调区间，考查正弦定理及运用，考查运算能力，属于中档题．