Question

11．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（cosA-cosC，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，sinA-sinC），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$
（1）若a²+c²+ac=b²，求A；
（2）若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=20，且a≠c，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由向量垂直的条件：数量积为0，运用两角差的余弦公式，以及余弦定理，可得B，A的度数；
（2）运用向量数量积的定义和三角函数的诱导公式，可得A+C=2B，解得B=60°，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{m}$=（cosA-cosC，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，sinA-sinC），
且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得cosB（cosA-cosC）+sinB（sinA-sinC）=0，
即为cosAcosB+sinAsinB=cosCcosB+sinCsinB，
即有cos（A-B）=cos（B-C），
在△ABC中，由a²+c²+ac=b²，可得a²+c²-b²=-ac，
由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{ac}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，
由B为三角形的内角，可得B=120°，
A+C=60°，
由cos（B-A）=cos（B-C），可得A=C=30°；
（2）由$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=20，且a≠c，
可得cacosB=20，
由（1）可得cos（A-B）=cos（B-C），
即为A-B=B-C+k•360°，
或A-B=C-B+k•360°，k∈Z，
由A≠C，A，B，C为三角形的内角，
可得A+C=2B，又A+C+B=180°，
解得B=60°，
则ac=$\frac{20}{cos60°}$=40，
即有△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×40×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$．

点评 本题考查向量垂直的条件：数量积为0，考查三角函数的恒等变换公式的运用，考查余弦定理和面积公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．