Question

16．命题p：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x＜0}\\{ln（x+1），x≥0}\end{array}\right.$且|f（x）|≥ax．q：函数g（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，g（x）=$\frac{1}{2}$（|x-a²|+|x-2a²|-3a²），且?x∈R，f（x-1）≤f（x）恒成立．
（1）若p且q为真命题，求a的取值范围；
（2）若p或q为真命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出命题p，q为真时，a的取值范围，
（1）若p且q为真命题，则两个取值范围的交集即为答案；
（2）若p或q为真命题，则两个取值范围的并集即为答案；

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x＜0}\\{ln（x+1），x≥0}\end{array}\right.$，
∴y=|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-2x，x＜0\\ ln（x+1），x≥0\end{array}\right.$，
∴y′=$\left\{\begin{array}{l}2x-2，x＜0\\ \frac{1}{x+1}，x≥0\end{array}\right.$，
由y=|f（x）|和y=ax的图象均过原点，
故命题p为真，即|f（x）|≥ax恒成立时，
仅须y′|_x=0=-2≤a≤0，
即a∈[-2，0]，
∵当x≥0时，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x-a²|+|x-2a²|-3a²）．
∴当0≤x≤a²时，f（x）=$\frac{1}{2}$（a²-x+2a²-x-3a²）=-x；
当a²＜x≤2a²时，f（x）=-a²；
当x＞2a²时，f（x）=x-3a²．
画出其图象．

由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象，
与x＞0时的图象关于原点对称．
若命题q为真，即?x∈R，f（x-1）≤f（x），
即6a²≤1，
解得：a∈[-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$]．
（1）若p且q为真命题，则a∈[-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，0]；
（2）若p或q为真命题，则∈[-2，$\frac{\sqrt{6}}{6}$]．

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，恒成立问题，难度较大，属于难题．