Question

6．对任意实数$x，y，z，\sqrt{{x^2}+{y^2}+{z^2}}+\sqrt{{{（x+\sqrt{2}）}^2}+{{（y-5）}^2}+{{（z-3）}^2}}$的最小值为6．

Answer 1

分析 设Q（-$\sqrt{2}$，5，3），利用两点之间的距离公式及其三角形两边大于第三边的性质，解出即可得出．

解答 解：$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$表示点P（x，y，z）到原点O（0，0，0）的距离，
$\sqrt{（x+\sqrt{2}）^{2}+（y-5）^{2}+（z-3）^{2}}$，表示点P（x，y，z）到Q（-$\sqrt{2}$，5，3）的距离，
∴任意实数$x，y，z，\sqrt{{x^2}+{y^2}+{z^2}}+\sqrt{{{（x+\sqrt{2}）}^2}+{{（y-5）}^2}+{{（z-3）}^2}}$≥|OQ|=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{5}^{2}+{3}^{2}}$=6，
当且仅当点P（x，y，z）在线段OQ上时取等号．
故答案为：6．

点评 本题考查了空间两点之间的距离公式、不等式的性质、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．