Question

17．设椭圆C：$\frac{x{\;}^{2}}{a{\;}^{2}}$+$\frac{y{\;}^{2}}{b{\;}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（2，0），离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求C的方程；
（2）过点（1，0）且斜率为1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求AB的中点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由椭圆方程可知焦点在x轴上，因此（2，0）为椭圆的右顶点，则a=2，由椭圆的离心率公式可知，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，即可求得b的值，即可求得C的方程；
（2）设直线l的方程y=x-1，代入椭圆方程，由韦达定理及直线方程求得x₁+x₂，y₁+y₂，根据中点坐标公式，求得AB的中点M的坐标．

解答 解：（1）由椭圆C：$\frac{x{\;}^{2}}{a{\;}^{2}}$+$\frac{y{\;}^{2}}{b{\;}^{2}}$=1（a＞b＞0）可知：焦点在x轴上，过（2，0），
∴a=2，
由离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，解得：b²=3，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由题意可知：直线方程为y=x-1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：7x²-8x-8=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{8}{7}$，
y₁+y₂=x₁-1+x₂-1=-$\frac{6}{7}$，
由中点坐标公式可知x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{4}{7}$，y=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{3}{7}$，
∴AB的中点M的坐标（$\frac{4}{7}$，-$\frac{3}{7}$）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．