Question

在边长分别为6dm和4dm的长方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起如图，做成一个无盖的长方形铁皮箱．切去的正方形边长为多少时，铁皮箱的容积最大．

Answer 1

分析：如果设切去的小正方形边长为x，x∈（0，2）；那么长方体铁皮箱的底面长为（6-2x），宽为（4-2x），高为x；
容积为V（x）=（6-2x）（4-2x）x，x∈（0，2）；对V（x）求导，令V′（x）=0，解得x的值，从而得函数V（x）的最大值．

解答：解：设切去的小正方形边长为x，其中x∈（0，2）；
则长方体铁皮箱的底面长为（6-2x），宽为（4-2x），高为x；
铁皮箱的容积为V（x）=（6-2x）（4-2x）x，x∈（0，2）；
求导，得V′（x）=12x²-40x+24，令V′（x）=0，解得x=

5- 7

3

，或x=

5+ 7

3

（舍去）；
当x∈（0，

5- 7

3

）时，V′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（

5- 7

3

，2）时，V′（x）＜0，函数单调递减；
所以，函数V（x）在x=

5- 7

3

时取得最大值；即切去的正方形边长为

5- 7

3

dm时，铁皮箱的容积最大．

点评：本题考查了导数在三次函数求最值问题时的实际应用，最大、最小值点通常存在于函数的导数等于0的点处．