Question

19．已知公差不为零的等差数列{a_n}满足：a₁=3，且a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列b_n=$\frac{1}{{{a}_{n-1}}_{{a}_{n}}}$，求数列{b_n}的前n项和{T_n}．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），由题可知${a_1}•{a_{13}}=a_4^2$，的3（3+12d）=（3+3d）²，d=2，即可求得通项公式．
（Ⅱ）${b_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$累加即可求得T_n

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），由题可知${a_1}•{a_{13}}=a_4^2$，
即3（3+12d）=（3+3d）²，解得d=2，
则a_n=3+（n-1）×2=2n+1．
（Ⅱ）解：因为${b_n}=\frac{1}{{{a_{n-1}}{a_n}}}$，所以${b_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$…（8分）
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$…（9分）
则T_n=b₁+b₂+b₃+…b_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$…（10分）
=$\frac{n}{2n+1}$…（12分）

点评 本题考查了等差数列的通项，裂项求和，属于中档题，