Question

3．由甲、乙、丙3人组成的工作小组共获得了4万元奖金，现在他们决定用如下方法分配奖金：甲乙二人格子随机从奖金中取出1万元或2万元作为自己的奖金，他们取得1万元的概率均为P₁，取得2万元的概率均为P₂，剩下的奖金全部归丙．
（1）若P₁=P₂=$\frac{1}{2}$，求丙获得1万元奖金的概率；
（2）若甲、乙、丙获得奖金的期望值相等，求P₁，P₂的值．

Answer 1

分析 （1）事件丙获得1万元为事件A，若A发生，则甲乙二人获得的金额分别为1万元，2万元，或2万元，1万元，由此能求出丙获得1万元奖金的概率．
（2）甲、乙1万元和2万元奖金的概率为p₁，p₂，甲、乙获得的奖金数额的数学期望值为p₁+2p₂，丙获得奖金数额的数学期望为$2{{p}_{1}}^{2}+2{p}_{1}{p}_{2}$，由此列出方程组，能求出P₁，P₂的值．

解答 解：（1）甲、乙二人得1万元和2万元的概率都是$\frac{1}{2}$，
事件丙获得1万元为事件A，
若A发生，则甲乙二人获得的金额分别为1万元，2万元，或2万元，1万元，
∴丙获得1万元奖金的概率：
P（A）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$．
（2）∵甲、乙1万元和2万元奖金的概率为p₁，p₂，
∴甲、乙获得的奖金数额的数学期望值为p₁+2p₂，
丙获得奖金数额的数学期望为$2{{p}_{1}}^{2}+2{p}_{1}{p}_{2}$，
依题意，得$\left\{\begin{array}{l}{{p}_{1}+{p}_{2}=1}\\{{p}_{1}+2{p}_{2}=2{{p}_{1}}^{2}+2{p}_{1}{p}_{2}}\end{array}\right.$，
解得${p}_{1}=\frac{2}{3}$，p₂=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理运用．