Question

17．已知cos2α=$\frac{4}{5}$，α∈（$\frac{7π}{4}$，2π），求sin4α，sin（$\frac{3π}{2}$-α）和tan$\frac{α}{2}$的值．

Answer 1

分析 由cos2α=$\frac{4}{5}$，α∈（$\frac{7π}{4}$，2π）求得sin2α，利用二倍角的正弦求得sin4α；再由已知求得cosα，进一步得到sinα，利用诱导公式及半角公式求得sin（$\frac{3π}{2}$-α）和tan$\frac{α}{2}$的值．

解答 解：∵α∈（$\frac{7π}{4}$，2π），∴2α∈（$\frac{7π}{2}，4π$），
又cos2α=$\frac{4}{5}$，∴sin2α=-$\sqrt{1-co{s}^{2}2α}=-\sqrt{1-（\frac{4}{5}）^{2}}=-\frac{3}{5}$．
则sin4α=2sin2αcos2α=2×$（-\frac{3}{5}）×\frac{4}{5}=-\frac{24}{25}$；
由cos2α=$\frac{4}{5}$，得$2co{s}^{2}α-1=\frac{4}{5}$，解得cos$α=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，∴sinα=-$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{10}}{10}）^{2}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$．
则sin（$\frac{3π}{2}$-α）=-cosα=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$；
tan$\frac{α}{2}$=$\frac{1-cosα}{sinα}$=$\frac{1-\frac{3\sqrt{10}}{10}}{-\frac{\sqrt{10}}{10}}=3-\sqrt{10}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数中的恒等变换应用，是中档题．