Question

5．若R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0＜x≤1时，f（x）=log₂x，则方程f（x）=f（0）+$\frac{1}{4}$在区间（2014，2016）内的所有实数根之和为（　　）

• A． 4028
• B． 4030
• C． 4032
• D． 4034

Answer 1

分析 由奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称可得f（x+4）=f（x），再利用f（0）=0，及0＜x≤1时，f（x）=log₂x，数形结合，可求得方程f（x）=$\frac{1}{4}$+f（0）=$\frac{1}{4}$在区间（2014，2016）内的所有实根之和．

解答 解：∵函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）为奇函数，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期为4，
又定义在R上的奇函数，故f（0）=0，
∵f（x）=f（0）+$\frac{1}{4}$，∴f（x）=$\frac{1}{4}$，
∵0＜x≤1时，f（x）=log₂x≤0，
∴f（x）=$\frac{1}{4}$在（0，1）内没有一实根，在（-1，0）内有一实数根x₁，
又函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（x）=$\frac{1}{4}$在（2，3）有一个实根x₂，且x₁+x₂=2；
∵f（x）的周期为4，
当2014＜x＜2016时，函数的图象与2＜x＜4的图象一样．
∴原方程在区间（2014，2016）内的实根有2个，设为a，b，则$\frac{a+b}{2}$=2015
∴a+b=4030．
故选：B．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断及奇偶函数图象的对称性，关键在于判断f（x）的周期为4，再结合0＜x≤1时，f（x）=log₂x与奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，数形结合予以解决，属于中档题．