Question

6．当n＞2时，证明：3ⁿ＞（n+2）•2^n-1．

Answer 1

分析 由n＞2，运用二项式定理，可得3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+${C}_{n}^{1}$•2+${C}_{n}^{2}$•2²+…+${C}_{n}^{n-1}$•2^n-1+${C}_{n}^{n}$•2ⁿ，由不等式的性质即可得证．

解答 证明：由n＞2，可得3ⁿ=（1+2）ⁿ
=1+${C}_{n}^{1}$•2+${C}_{n}^{2}$•2²+…+${C}_{n}^{n-1}$•2^n-1+${C}_{n}^{n}$•2ⁿ
=1+2n+$\frac{n（n-1）}{2}$+…+（n+2）•2^n-1
＞（n+2）•2^n-1．
则3ⁿ＞（n+2）•2^n-1．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用二项式定理，考查推理能力，属于中档题．