Question

12．已知偶函数f（x）=x²+bx+c的图象过点（2，5），设g（x）=（x+a）f（x）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若当x=-1时，函数g（x）取得极值，确定g（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）利用偶函数的定义列出恒成立的等式，求出b的值；将点（2，5）代入y=f（x）求出c的值；求出函数的解析式．
（2）求出g（x）的导函数，令导函数在x=1处的值为0，求出a的值；令g（x）的导函数大于0得到g（x）的单调递增区间，令导函数小于0得到g（x）的单调递减区间．

解答 解：（1）∵f（x）=x²+bx+c为偶函数，
故f（-x）=f（x）
即有（-x）²+b（-x）+c=x²+bx+c
解得b=0
又曲线y=f（x）过点（2，5），得2²+c=5，
有c=1．
∴函数f（x）=x²+1．
（2）g（x）=（x+a）f（x）=x³+ax²+x+a
从而g′（x）=3x²+2ax+1，
因x=-1时函数y=g（x）取得极值，
故有g′（-1）=0即3-2a+1=0，
解得a=2
又g′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）
令g′（x）=0，得x1=-1，x2=-$\frac{1}{3}$
当x∈（-∞，-1）时，g′（x）＞0，故g（x）在（-∞，-1）上为增函数
当x∈（-1，-）时，g′（x）＜0，故g（x）在（-1，-$\frac{1}{3}$）上为减函数
当x∈（-$\frac{1}{3}$，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）在（-$\frac{1}{3}$，+∞）上为增函数．

点评 本题考查函数的性质，导函数的应用，解决函数的奇偶性问题，一般利用奇函数、偶函数的定义找关系；注意具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称；利用导数判断函数的单调性：导函数大于0则函数递增；导函数小于0则函数递减．