Question

已知定义在闭区间[-3，3]上的两个函数：g（x）=2x³+5x²+4x，f（x）在[-3，3]的值域为[-k-8，-k+120]，若对于任意x₁∈[-3，3]，总存在x∈[-3，3]使得g（x）=f（x₁）成立，求k的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：由g（x）=2x³+5x²+4x，知g′（x）=6x²+10x+4，令g′（x）=6x²+10x+4=0，得x=-1或x=-，列表讨论得g（x）在闭区间[-3，3]上的值域为[-21，111]．由f（x）在[-3，3]的值域为[-k-8，-k+120]，若对于任意x₁∈[-3，3]，总存在x∈[-3，3]使得g（x）=f（x₁）成立，知，由此能求出k的取值范围．
解答：解：∵g（x）=2x³+5x²+4x，
∴g′（x）=6x²+10x+4，
令g′（x）=6x²+10x+4=0，得x=-1或x=-，
列表讨论：

x	-3	（-3，-1）	-1	（-1，-）	-	（-，3）	3
f′（x）	+	+	0	-	0	+	+
f（x）	↑	↑	极大值	↓	极小值	↑	↑

∵g（-3）=2×（-27）+5×9+4×（-3）=-21，
g（-1）=2×（-1）+5×1+4×（-1）=-1，
g（-）=2×（-）+5×+4×=-，
g（3）=2×27+5×9+4×3=111．
∴g（x）在闭区间[-3，3]上的值域为[-21，111]．
∵f（x）在[-3，3]的值域为[-k-8，-k+120]，
若对于任意x₁∈[-3，3]，总存在x∈[-3，3]使得g（x）=f（x₁）成立，
∴，
解得9≤k≤13．
故答案为：[9，13]．
点评：本题考查闭区间上函数最值的求法和应用，考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．