Question

已知函数f（x）＝x2·ln|x|（x≠0）．

（1）求f（x）的最值；

（2）若关于x的方程f（x）＝kx－1无实数解，求实数k的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由已知显然该函数是偶函数，所以只需研究当时的函数最值，由于函数是对数函数，可用导数法求最值，因此对函数求导，令，判断导数在定义域内的符号确定单调性，从而可得函数的最值；（2）由（1）作出函数的图像，方程无实数解时，由图像可知，求出相切时的值，结合图象可确定的范围．

试题解析：（1）∵f（x）为偶函数，∴我们先求其在（0,＋∞）内的最值．

求导得：（x）＝x（2lnx＋1）, 令（x）＝0 ⇒ 2lnx＋1＝0 ⇒ x＝e，由此易知：

x∈（0, e）时，（x）＜0 ⇒ f（x）单调递减；x∈（e,＋∞）时，（x）＞0 ⇒f（x）单调递增．

故f（x）在[0,＋∞）上的最小值f（x）min＝f（e）＝－．

再由f（x）为偶函数，其图像关于y轴对称即知：f（x）min＝－为所求．

（2）由（1）知：f（x）的图像大致如右图所示，由图像知：当求出直线y＝kx－1

与f（x）的图像相切时，其斜率k的值后，便可求得该直线与f（x）的图像无交点，即

方程f（x）＝kx－1无实数解时，其斜率k的取值范围． 我们先考虑x＞0的情况．

设切点为（x0, y0），x0＞0⇒ k切＝x0（2ln x0＋1）⇒切线方程为：y＝x0（2ln x0＋1）x＋y0－x02（2ln x0＋1），

因该切线与y＝kx－1重合，故x02（2ln x0＋1）＝1 ⇒2x02ln x0＝1－x02 ．此即2 f（x0） ＝1－x02．（※）

在同一坐标系内，作出函数y＝2f（x）, x＞0, 与y＝1－x2的图像，可知它们的交点为（1, 0）．故方程（※）的解为：x0＝1 ⇒k切＝1；⇒x＞0时，k≥1，直线y＝kx－1与f（x）的图像有交点（即原方程有解）．

再根据f（x）的图像的对称性易知：k≤－1时，直线y＝kx－1与f（x）的图像也有交点．

故－1＜k＜1时，直线y＝kx－1与f（x）的图像无交点，即方程f（x）＝kx－1无实数解．

考点：利用导数研究函数的单调性、极值、等性质，确定函数的图象，方程根的取值．