题目内容
10．已知△ABC的三个内角A，B，C满足2017cos2C-cos2A=2016-2sin2B，则$\frac{tanC•（tanA+tanB）}{tanA•tanB}$=（ ）| A． | $\frac{2017}{2}$ | B． | $\frac{2}{2017}$ | C． | $\frac{1}{2016}$ | D． | $\frac{1}{1008}$ |
分析 利用二倍角公式化解2017cos2C-cos2A=2016-2sin2B，可得sin2B+sin2A=2017sin2C，即a2+b2=2017c2．将$\frac{tanC•（tanA+tanB）}{tanA•tanB}$化简通分可得：$\frac{sinC（sinAcosB+cosAsinB）}{cosCsinAsinB}$，利用正弦定理可得求解．
解答 解：由题意，2017cos2C-cos2A=2016-2sin2B，
可得sin2B+sin2A=2017sin2C，
由正弦定理可得：a2+b2=2017c2．
那么cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{2016{c}^{2}}{2ab}$．
故$\frac{tanC•（tanA+tanB）}{tanA•tanB}$=$\frac{sinC（sinAcosB+cosAsinB）}{cosCsinAsinB}$=$\frac{{c}^{2}}{cosC•ab}=\frac{1}{1008}$．
故选：D．
点评 本题主要考察了同角三角函数关系式和二倍角公式，正余弦定理的综合运用．有一定的难度．
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