Question

已知|AB|=3，C是线段AB上异于A，B的一点，△ADC，△BCE均为等边三角形，则△CDE的外接圆的半径的最小值是

3

2

．

Answer 1

分析：设AC=m，CB=n，则m+n=3，在△CDE中，由余弦定理知DE²=9-3mn，利用基本不等式，可得DE≥

3

2

，再利用△CDE的外接圆的半径R=

DE

2sin∠DCE

=

DE

3

≥

3

2

，即可得到结论．

解答：解：设AC=m，CB=n，则m+n=3，
在△CDE中，由余弦定理知DE²=CD²+CE²-2CD•CEcos∠DCE=m²+n²-mn=（m+n）²-3mn=9-3mn
又mn≤(

m+n

2

)2=

9

4

，当且仅当m=n=

3

2

时，取“=”，所以DE≥

3

2

，
又△CDE的外接圆的半径R=

DE

2sin∠DCE

=

DE

3

≥

3

2

∴△CDE的外接圆的半径的最小值是

3

2

故答案为：

3

2

．

点评：本题考查余弦定理的运用，考查基本不等式，考查正弦定理的运用，确定DE的范围是关键．