Question

为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足x=4-

k

2t+1

（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．
（1）将该厂家2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
（2）该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？

Answer 1

分析：（1）先求出k的值，再根据产品成本包括固定投入和再投入两部分，可得该厂家2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
（2）由（1）知y=27-

18

2t+1

=27.5-[

9

t+ 1 2

+(t+

1

2

)]，利用基本不等式，可求该厂家2013年的厂家利润最大．

解答：解：（1）由题意有1=4-

k

1

，得k=3，故x=4-

3

2t+1

．
∴y=1.5×

6+12x

x

×x-（6+12x）-t=3+6x-t=3+6（4-

3

2t+1

）-t=27-

18

2t+1

-t（t≥0）．
（2）由（1）知y=27-

18

2t+1

=27.5-[

9

t+ 1 2

+(t+

1

2

)]
∵

9

t+ 1 2

+(t+

1

2

)≥2

9 t+ 1 2 •(t+ 1 2 )

=6，
当且仅当

9

t+ 1 2

=t+

1

2

，即t=2.5时，等号成立，
∴y=27.5-[

9

t+ 1 2

+(t+

1

2

)]≤27.5-6=21.5．
当t=2.5时，y有最大值21.5．
∴2009年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大．

点评：本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，属于中档题．