Question

7．已知O为坐标原点，F是双曲线$Γ：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦点，A，B分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线 BM与y轴交于点N，若|OE|=2|ON|，则 Γ的离心率为（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可．

解答 解：∵PF⊥x轴，
∴设M（-c，t），则A（-a，0），B（a，0），
AE的斜率k=$\frac{t}{a-c}$，则AE的方程为y=$\frac{t}{a-c}$（x+a），
令x=0，则y=$\frac{ta}{a-c}$，即E（0，$\frac{ta}{a-c}$），
BN的斜率k=-$\frac{t}{a+c}$，则BN的方程为y=-$\frac{t}{a+c}$（x-a），
令x=0，则y=$\frac{ta}{a+c}$，即N（0，$\frac{ta}{a+c}$），
∵|OE|=2|ON|，
∴2|$\frac{ta}{a+c}$|=|$\frac{ta}{a-c}$|，
即$\frac{2}{a+c}$=$\frac{1}{c-a}$，
则2（c-a）=a+c，
即c=3a，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=3，
故选：A

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点N，E的坐标是解决本题的关键．