Question

11．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F，G，H分别是AB，AC，A₁B₁，A₁C₁的中点．
（1）若AA₁=AB=AC=BC=2，求三棱锥A₁-AEF的体积；
（2）求证：平面EFA₁∥平面BCHG．

Answer 1

分析 （1）直接利用三棱锥的体积公式，求三棱锥A₁-AEF的体积；
（2）利用三角形中位线的性质，证明GH∥B₁C₁，从而可得GH∥BC，从而证明B，C，H，G四点共面；证明平面EFA₁中有两条直线A₁E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行，即可得到平面EFA₁∥平面BCHG

解答 （1）解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F分别是AB，AC的中点，AA₁=AB=AC=BC=2，
∴三棱锥A₁-AEF的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△AEF}×A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
（2）证明：∵G、H分别为A₁B₁，A₁C₁中点，∴GH∥B₁C₁，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC∥B₁C₁，
∴GH∥BC
∴B、C、H、G四点共面，
∵E、F分别为AB、AC中点，
∴EF∥BC
∴EF∥BC∥B₁C₁∥GH
又∵E、G分别为三棱柱侧面平行四边形AA₁B₁B对边AB、A₁B₁中点，
∴四边形A₁EBG为平行四边形，A₁E∥BG
∴平面EFA₁中有两条直线A₁E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行
∴平面EFA₁∥平面BCHG．

点评 本题考查平面与平面平行的判定，考查三棱锥A₁-AEF的体积，考查学生分析解决问题的能力，正确运用平面与平面平行的判定定理是关键．