Question

12．已知函数f（x）=log_a（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+1（a＞0，a≠1），若f（sin（$\frac{π}{6}$-α））=$\frac{1}{3}$，则f（cos（α-$\frac{2π}{3}$））=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 利用函数的寄偶性进行解答：令sin（$\frac{π}{6}$-α）=t，则cos（α-$\frac{2π}{3}$）=-t．令g（x）=log_a（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），则g（x）是奇函数；令h（x）=$\frac{1}{{a}^{x}-1}$，则h（-x）=-1-h（x）．所以将所求的函数转化为：f（-t）=g（-t）+h（-t）+1的形式，然后利用函数的寄偶性进行解答即可．

解答 解：cos（α-$\frac{2π}{3}$）=-sin（$\frac{π}{6}$-α）．
令sin（$\frac{π}{6}$-α）=t，则cos（α-$\frac{2π}{3}$）=-t．
令g（x）=log_a（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），则g（x）是奇函数．
令h（x）=$\frac{1}{{a}^{x}-1}$，则h（-x）=-1-h（x）．
故f（t）=g（t）+h（t）+1=$\frac{1}{3}$．则g（t）+h（t）=-$\frac{2}{3}$，
f（-t）=g（-t）+h（-t）+1，
=-g（t）+[-1-h（t）]+1，
=-[g（t）+h（t）]，
=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了对数函数的图象与性质．解题时，注意转化思想的应用．