Question

15．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过F₂的直线与椭圆C交于A，B两点，记直线AF₁，BF₁，AB的斜率分别为k₁，k₂，k．若k₁+k₂+k=0，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设过F₂（1，0）的直线为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F₁（-1，0），由y=k（x-1）代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式和点A，B满足直线方程，化简整理，解方程可得斜率k的值，进而得到所求直线的方程．

解答 解：（1）由题意可得c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）设过F₂（1，0）的直线为y=k（x-1），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F₁（-1，0），
由y=k（x-1）代入椭圆方程x²+2y²=2，可得
（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
k₁+k₂+k=0，即为$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$+k=0，
即为$\frac{k（{x}_{1}-1）}{{x}_{1}+1}$+$\frac{k（{x}_{2}-1）}{{x}_{2}+1}$+k=0，
化简可得3x₁x₂+x₁+x₂-1=0，
即为3•$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-1=0，
解方程可得k=±$\frac{\sqrt{14}}{4}$．
即有直线AB的方程为y=±$\frac{\sqrt{14}}{4}$（x-1）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．