Question

20．把函数f（x）=3x²+2（a-1）x+a²，x∈[-1，1]的最小值记为g（a）．
（1）写出g（a）的解析式；
（2）若f（x）的最小值为13，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二次函数的性质，分对称轴在区间[-1，1]的左侧、中间、由侧三种情况，分别求得函数的最小值．
（2）利用（1）的结论，结合f（x）的最小值为13，求a的值．

解答 解：（1）由于函数f（x）=3x²+2（a-1）x+a²=3（x+$\frac{a-1}{3}$）²+$\frac{2{a}^{2}+2a-1}{3}$，x∈[-1，1]，
故当-$\frac{a-1}{3}$＜-1，即a＞4时，f（x）的最小值g（a）=f（-1）=a²-2a+5；
当-1≤-$\frac{a-1}{3}$≤1，即-2≤a≤4时，f（x）的最小值g（a）=f（-$\frac{a-1}{3}$）=$\frac{2{a}^{2}+2a-1}{3}$；
当-$\frac{a-1}{3}$＞1，即a＜-2时，f（x）的最小值g（a）=f（1）=a²+2a+1．
综上可得，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+2a+1，a＜-2}\\{\frac{2{a}^{2}+2a-1}{3}，-2≤a≤4}\\{{a}^{2}-2a+5，a＞4}\end{array}\right.$；
（2）令a²-2a+5=13，可得a=4或-2，不符合题意；
$\frac{2{a}^{2}+2a-1}{3}$=13，可得a=4或-5，a=4符合题意；
a²+2a+1=13，可得a=-1±$\sqrt{13}$，a=-1-$\sqrt{13}$符合题意．
综上可得a=-1-$\sqrt{13}$或4．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属中档题．