题目内容

15．近年来，全国各地数城市污染严重，为了提出有效的整治方案，将探究车流量与PM2.5的浓度的关系，现采集到某城市2017年4月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：
时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期七
车流量x（万辆）1234567
PM2.5的浓度y（微克/立方米）28303541495662
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）①利用（1）所求的回归方程，预测该市车流量为8万辆时PM2.5的浓度；
②规定：当一天内PM2.5的浓度平均值在（0，50]内，空气质量等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在（50，100]内，空气质量等级为良．为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内？（结果以万辆为单位，保留整数）
参考公式：回归直线的方程是$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，其中$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．
提示：$\sum_{i=1}^{7}{x}_{i}{y}_{i}$=1372．

分析 （1）由表中数据计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出系数$\widehat{b}$、$\widehat{a}$，写出y关于x的线性回归方程；
（2）①利用回归方程计算x=8时$\widehat{y}$的值即可；②根据题意信息令$\widehat{y}$≤100，求出x的取值范围，保留整数即可．

解答 解：（1）由表中数据，计算$\overline{x}$=$\frac{1}{7}$×（1+2+3+4+5+6+7）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$×（28+30+35+41+49+56+62）=43，
又$\sum_{i=1}^{7}$xiyi=1372，$\sum_{i=1}^{7}$${{x}_{i}}^{2}$=140，
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{1372-1204}{140-112}$=6，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=43-4×6=19，
∴y关于x的线性回归方程是$\widehat{y}$=6x+19；
（2）①利用（1）所求的回归方程，计算x=8时，$\widehat{y}$=6×8+19=67，
∴预测该市车流量为8万辆时PM2.5的浓度67微克/立方米；
②根据题意信息，令6x+19≤100，
解得x≤13.5，
∴为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量在13万辆以内．

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题．

练习册系列答案
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时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00
水深5.07.55.02.55.07.55.02.55.0
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