题目内容

若f（x）=ln（1-x）+sin2x，则f′（0）=
 
．
分析：根据导数的公式以及导数的运算法则直接求导即可．
解答：解：∵f（x）=ln（1-x）+sin2x，
∴f'（x）=-
1
1-x
+2cos2x．
∴f′（0）=-1+2cos0=-1+2=1．
故答案为：1．
点评：本题主要考查复合函数的导数公式，以及导数的运算法则，要求熟练掌握常见函数的导数公式．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax．（a≤0）．
（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）证明：(1+
1
22
)(1+
1
42
)(1+
1
82
)…(1+
1
22n
)＜e(n∈N*)．
已知函数f（x）=ln（1+x）+aln（1-x）（a∈R）的图象关于原点对称．
（1）求定义域．
（2）求a的值．
（3）若g(x)=ef(x)-
1-m2+m
有零点，求m的取值范围．
（2008•盐城一模）已知函数f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x0∈（a，b）使得
f(b)-f(a)b-a
=f′(x0)”成立，
（1）利用这个性质证明x0唯一．
（2）设A、B、C是函数f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．
（2013•保定一模）设函数f（x）=ln（1+x）-
ax
x+1
（a∈R）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当a＞0时，若对任意的x≥0，恒有f （x）≥0，求实数a的取值范围；
（3）设x∈N且x＞2，试证明：lnx＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
x
．

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