Question

5．设有关于x的一元二次方程x²+2（a-2）x+b²=0．
（1）若a∈（-5，2）且a∈Z，b∈（0，4）且b∈Z，求上述方程有实根的概率；
（2）若a∈（-5，2），b∈（0，4），求上述方程无实根的概率．

Answer 1

分析 （1）列举出所有的满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果；
（2）a∈（-5，2），b∈（0，4），图象如图所示的矩形部分，其面积为28，满足△=4（a-2）²-4b²＜0．a∈（-5，2），b∈（0，4），图象如图所示的阴影部分，其面积为8，由此能求出方程有实根的概率．

解答 解：（1）一元二次方程x²+2（a-2）x+b²=0的△=4（a-2）²-4b²≥0．
a∈（-5，2）且a∈Z，b∈（0，4）且b∈Z，基本事件有（-4，1），（-4，2），（-4，3），（-3，1），（-3，2），（-3，3），（-2，1），（-2，2），（-2，3），
（-1，1），（-1，2），（-1，3），（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），共18个，
满足方程有实根的基本事件有（-4，1），（-4，2），（-4，3），（-3，1），（-3，2），（-3，3），（-2，1），（-2，2），（-2，3），（-1，1），（-1，2），
（-1，3），（0，1），（0，2），（1，1），共15个，
∴方程有实根的概率为$\frac{15}{18}$=$\frac{5}{6}$；
（2）a∈（-5，2），b∈（0，4），图象如图所示的矩形部分，其面积为28，
满足△=4（a-2）²-4b²＜0．a∈（-5，2），b∈（0，4），图象如图所示的阴影部分，其面积为8，∴方程无实根的概率．为$\frac{8}{28}$=$\frac{2}{7}$．

点评 高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，解题时，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到．