Question

13．函数f（x）=（-x²+ax+a）e^x（a＞0，e是自然常数）
（1）当x∈[0，1]时，函数f（x）的最大值是$\frac{\sqrt{e}}{2}$，求a的值；
（2）当x∈（0，1]时，证明：2x³-x²-x＞$\frac{\sqrt{e}（lnx-x）}{{e}^{x}}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，得到函数的最大值，从而求出a的值即可；
（2）问题转化为（-x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$）e^x＜$\frac{\sqrt{e}}{2}$（1-$\frac{lnx}{x}$），设g（x）=-x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$）e^x，设h（x）=$\frac{\sqrt{e}}{2}$（1-$\frac{lnx}{x}$），根据函数的单调性分别求出其最大值和最小值，从而证出结论．

解答 解：（1）由题意得：f′（x）=-（x+2）（x-a）e^x，
a＞0时，由f′（x）≥0，解得：-2≤x≤a，
∴f（x）在[-2，a]递增，在（-∞，-2]，[a，+∞）递减，
a≥1时，f（x）在[0，1]递增，
∴f（x）_max=f（1）=（2a-1）e=$\frac{\sqrt{e}}{2}$，解得：a=$\frac{1}{4\sqrt{e}}$+$\frac{1}{2}$＜1，不合题意，舍，
0≤a＜1时，f（x）在[0，a]递增，在[a，1]递减，
∴f（x）_max=f（a）=ae^a=$\frac{\sqrt{e}}{2}$，解得：a=$\frac{1}{2}$，符合题意，
综上，存在a=$\frac{1}{2}$，使得x∈[0，1]时，f（x）的最大值是$\frac{\sqrt{e}}{2}$；
（2）当x∈（0，1]时，要证：2x³-x²-x＞$\frac{\sqrt{e}（lnx-x）}{{e}^{x}}$，
即证（-x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$）e^x＜$\frac{\sqrt{e}}{2}$（1-$\frac{lnx}{x}$），
设g（x）=-x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$）e^x，
由（1）可得g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{e}}{2}$，
设h（x）=$\frac{\sqrt{e}}{2}$（1-$\frac{lnx}{x}$），h′（x）=$\frac{\sqrt{e}}{2}$$（\frac{lnx-1}{{x}^{2}}）$，
h（x）在（0，1]递减，h（x）_min=h（1）=$\frac{\sqrt{e}}{2}$，
∴（-x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$）e^x＜$\frac{\sqrt{e}}{2}$（1-$\frac{lnx}{x}$），
即2x³-x²-x＞$\frac{\sqrt{e}（lnx-x）}{{e}^{x}}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．