Question

设a、b、c都是整数，过圆x²＋y²＝(3a＋1)²外一点P(b³－b，c³－c)向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点(所谓格点是指：横、纵坐标都是整数的点)．

Answer 1

答案：
解析：

线段OP的中点的坐标为((b3－b)，(c3－c))，以OP为直径的圆的方程为 　　(1) 　　将x2＋y2＝(3a＋1)2代入(1)得(b3－b)＋(c3－c)y＝(3a＋1)2 　　它就是过两切点的直线方程，如果有在格点． 　　因b3－b＝b(b－1)(b＋1)，它为三个连续数的乘积，显然能被3整除， 　　同理，c3－c亦能被3整除． 　　于是(3a＋1)2能被3整除，从而3a＋1也必须能被3整除，显然这是不可能的，从而，原命题得证．